Armónicos en cuerdas

¡Hola nuevamente! ¿Me extrañaron?

Ondas estacionarias en una cuerda

            Si un pulso viaja por una cuerda, se refleja en su extremo y regresa. Según el extremo de la cuerda sea fijo o libre, el pulso se invertirá o se reflejará sin invertirse, respectivamente.

            Si en lugar de ser un pulso, es una onda sinusoidal la que viaja por la cuerda, las ondas que viajan en un sentido y otro se superpondrán, según la ecuación

                                   y _RESULTANTE = y₁ + y₂

conocida como Principio de Huygens.

            De esta superposición surgirá la onda resultante, que siempre es una onda estacionaria, esto es una onda cuya velocidad vale 0.

(I) Los Armónicos

            En determinadas condiciones, la onda resultante presenta una máxima amplitud, como consecuencia de la interferencia constructiva de las ondas que viajan en sentidos contrarios. En esos casos, la cuerda presenta alguno de los siguientes aspectos:

Estos dibujos que parecen en la cuerda se denominan armónicos y se caracterizan por tener una cantidad entera (1, 2 3...) o semi entera (0,5; 1,5; 2,5...) de vientres en la longitud L de la cuerda.

            Dichos armónicos reciben su nombre según esa cantidad de vientres, de la siguiente forma:

            * Si la cuerda está fija por ambos extremos, la cantidad de vientres es entera y el número de armónico es el mismo que la cantidad de vientres. Por ejemplo, en el primer dibujo de arriba, se muestra el Tercer Armónico. El armónico con un solo vientre se denomina Fundamental. En este tipo de cuerdas tienen armónicos de todos los números.

            * Si la cuerda está libre por un extremo, la cantidad de vientres es semi entera; en ese caso el número se multiplica por dos y el entero resultante da su nombre al armónico. Por ejemplo, en el segundo dibujo de arriba hay 2,5 vientres, entonces 2,5x2 = 5. Es decir, el dibujo corresponde al Quinto Armónico con un extremo libre. En este tipo de cuerda solamente hay armónicos impares.     

(II) Longitudes de onda y frecuencias de los Armónicos

            Llamemos L a la longitud de la cuerda en la cual se establece un armónico. Si n representa el número de armónico, se cumplirán las siguientes relaciones:

            L = n.l/2         para cuerdas con ambos extremos fijos, con n = 1, 2, 3, 4...

            L = N.l /4       para cuerdas con un extremo libre, con N = 1, 3, 5, 7...

            Y como la velocidad de una onda cumple que   V = l.f, si sustituimos obtendremos:

            f  =  n. V /2.L              para cuerdas con extremos fijos y

            f  =  N. V/ 4.L             para cuerdas con un extremo libre.

            Es decir, solamente para determinadas frecuencias se establecerá un armónico en una cuerda vibrante.

            Si la cuerda tiene sus extremos fijos (como una cuerda de guitarra, por ejemplo) eso ocurrirá para una frecuencia mínima f₁ = V/2L y después para frecuencias que sean el doble, triple, cuádruple... de esta.

            Si la cuerda tiene un extremo libre, el armónico se establece para una frecuencia mínima f₁ = V/4L y luego para el triple, quíntuple... de esa.

            El análisis de los diferentes armónicos es espacialmente importante durante el estudio musical: los sonidos "agradables" surgen de la superposición de armónicos.

Y ahora... ¡un poco de diversión!

Cuestionario

            Este trabajo lo realizarás con el Simulador de Ondas en una cuerda que hemos cargado anteriormente. Nos remitiremos, pues, a sus controles.

Actividad

Elija la opción Pulse. Coloque Damping (amortiguamiento) en 0, Amplitude y Pulse Width en 50. Elija Fixed End (Extremo fijo). Genere un pulso apretando el botón verde Pulse

Pregunta 1- ¿Cómo se refleja este pulso al alcanzar el extremo fijo?

Genere un segundo pulso después que el primero ha partido.

Pregunta 2- Cuando los dos pulsos se superponen: ¿Qué se puede observar?

Cambie el extremo fijo por el extremo libre (Loose End). Repita el procedimiento generando uno y dos pulsos.

Pregunta 3- ¿Cómo se refleja un pulso al alcanzar el extremo libre?

Pregunta 4- Cuando los dos pulsos se superponen, moviéndose ambos por encima o ambos por debajo: ¿Qué se puede observar?

Pregunta 5- Cuando los dos pulsos se superponen, moviéndose uno por encima y otro por debajo: ¿Qué se puede observar?

Deje el extremo libre, coloque la amplitud en 10, la tensión en la novena marca y elija Oscillate. Ubique la frecuencia en 31.

Pregunta 6- ¿Qué se observa al superponerse las ondas que viajan por la cuerda, en este caso?

Deje el extremo fijo, coloque la amplitud en 10, la tensión en la novena marca y elija Oscillate. Ubique la frecuencia en 25.

Pregunta 7- ¿Qué se observa al superponerse las ondas que viajan por la cuerda, en este caso?

Superposición de Ondas y Ondas Estacionarias

Ve a este enlace, donde encontrarás el programa simulador de ondas en una cuerda de cuentas (Waves on a String 2.03), creado por el PHET, de Colorado (EEUU)

http://phet.colorado.edu/sims/wave-on-a-string/wave-on-a-string_en.html

Puedes usar este simulador para generar tus propios pulsos u ondas periódicas de diferntes frecuencias y amplitudes.

Controles de la Onda:

(i) Amplitude = Amplitud, para dar más elongación a la onda.
(ii) Pulse Width= Ancho del Pulso.
(iii) Frequency = Frecuencia, para ondas periódicas
(iv) Damping = Amortiguamiento.
Esta opción te mostrará cómo se ve un pulso o una onda viajera al moverse a través de un medio dispersivo (uno a través del que pierde energía). Si no quieres amortiguamiento, coloca este control en 0.
(v) Tension = Tensión
Coloca este control al máximo para hacer viajar más rápidamente las ondas. Si deseas ver más lentamente los fenómenos, disminuye la tensión.
(vi) Ruler= regla. te permite colocar y mover con el mouse dos reglas, una horizontal y otra vertical.
(vii) Timer = Cronómetro. Para medir tiempos. Start/Stop= Arranque/Detener; Reset = Recomenzar.

Controles del Oscilador

(i) Manual = emisión manual, subiendo y bajando la llave de la izquierda.
(ii) Oscillate: oscilador, con la frecuencia elegida arriba.
(iii) Pulse: Pulso. La mejor opción para generar las ondas de a una y verlas superponerse
(iv) Reset = Recomenzar

Controles del extremo de la cuerda

(i) Fix End = Extremo Fijo.
(ii) Loose End = Extremo libre.
(iii) No End = sin extremo

Problemas Ondas Sinusoidales (II)

2ª Parte

(13) Un resorte demostrativo tiene una masa M = 1,20kg y una longitud L = 4,00m, siendo su constante k = 50,0N/m. El resorte se estira el resorte hasta que L’ = 5,50m y entonces se fijan ambos extremos a paredes. Si ahora se pulsa el resorte. (a)¿Con qué velocidad se propagan las ondas por él?.  ¿Qué tiempo tardaría cierto pulso en regresar al extremo desde el que fue emitido? (b) ¿Tiene sentido hablar de la densidad lineal del resorte?.

(14) La cuerda de cierto instrumento tiene 60,0cm de longitud y una masa de 0,955g. Esa cuerda se tensa con una fuerza de 50,0N y se hace vibrar, pulsándola con el dedo. (a) ¿Con qué velocidad viajan las ondas por la cuerda? (b) Sabiendo que la cuerda vibra en el armónico fundamental: ¿de qué frecuencia es el sonido que emite?. (c) La cuerda se ve vibrar en una panza cuyo ancho vale 9,00m: escriba la función de las ondas que viajan por esa cuerda y de la onda estacionaria que se establece en ella.

(15) Se une una cuerda de densidad lineal m = 2,80 x 10^-3 kg/m a un timer que vibra con la frecuencia de UTE (50,0 Hz). La cuerda mide 2,00m de longitud y en su extremo se le cuelga una pesa de 300g.

(a) ¿Con qué velocidad se mueven las ondas por la cuerda? (b) ¿Vibrará la cuerda en modo estacionario?. Justifique su respuesta.

(16) Una cuerda de L = 3,00m vibra de forma estacionaria con ambos extremos fijos.

(a) Dibujar la cuerda y determinar l si la misma oscila en el tercer armónico. (b) Si la oscilación tiene un período T = 0,0100 s y la amplitud de la estacionaria vale A = 5,00cm, escribir la ecuación de esa onda.

(17) Resolver el mismo problema anterior pero si la cuerda vibrase con un extremo libre.

(18) Una cuerda vibra en el quinto armónico con ambos extremos fijos, siendo L = 4,60m:

(a) ¿Cuántos vientres y nodos hay? (b) ¿Cuánto vale l?

(15)  Un oscilador  tiene una frecuencia f = 100Hz. Si se lo une a una cuerda de densidad lineal m = 5,00 x 10^-3 kg/m, fija por ambos extremos y con L = 1,60m:

(a) ¿A que tensión se la debe someter para que vibre en el modo fundamental?. (b) Si sólo se dispusiera de una pesa de 150g: ¿qué longitud mínima debería tener la cuerda para dar lugar a un modo estacionario?.

(16) Si una cuerda determinada se somete a una tensión T = 30,0N, vibra en el 4º armónico con f = 40,0Hz. Sabiendo que L = 2,40m:

(a) ¿Se halla la cuerda con ambos extremos fijos o tiene uno libre?. (b) ¿Cuánto vale la velocidad de propagación? (c) ¿Cuánto vale la densidad lineal de la cuerda? (d) Escriba las ecuaciones de las ondas viajeras que generaron la estacionaria, sabiendo que la amplitud de esta última vale 6,00cm.

(17) Una cuerda de masa M = 3,00g y longitud L = 4,50m se tensa con T = 5,45N.

(a) ¿Con qué velocidad se propagarán las ondas por la cuerda? (b) Si la cuerda se halla fija por ambos extremos y vibra en el 5º armónico, determinar la frecuencia del oscilador que genera las perturbaciones. (c) Si la cuerda está fija por ambos extremos y f = 40,0Hz, hallar la longitud de onda y decir si están dadas las condiciones para que se establezca una onda estacionaria óptima.

(18) Una cuerda de densidad lineal m = 4,50 x 10^-3 kg/m es agitada por un oscilador de frecuencia n = 100Hz, de forma tal que l = 0,870m.

(a) Determinar la velocidad de propagación y la tensión a que se halla sometida la cuerda. (b) Si la cuerda se halla fija por ambos extremos y vibra en el 3er armónico, determinar su longitud y masa.

(19) “Al hacer un experimento con una cuerda con un extremo libre, observé que vibraba en el 4º armónico y medía 1,60m”. Discutir esta afirmación.

(20) Verdadero o Falso.

(a) Si una misma cuerda (con igual tensión) se agita con el doble de frecuencia, tendrá el doble de longitud de onda.

(b) La velocidad de las ondas en una cuerda de guitarra es siempre la misma.

(c) Una cuerda de guitarra vibra siempre en el modo fundamental, por eso L = l/2.

(d) Al apoyar los dedos en los trastes de una guitarra, cambiamos su tensión.

(e) Al apoyar los dedos en los trastes de una guitarra, cambiamos su longitud de onda y su frecuencia de vibración.

(f) Cuanto más tensa esté una cuerda de guitarra, más aguda sonará (mayor frecuencia tendrá).

(g) Si dos ondas tienen igual longitud de onda, tienen también igual frecuencia.

(h) Si dos ondas tienen igual frecuencia pero l₁ < l₂ , entonces  V₁ < V₂.

(i) Si las cuerdas de una guitarra estuvieran ordenadas según su densidad lineal y sometidas a iguales tensiones, sonará más grave la cuerda de mayor m.

(j) Si una cuerda mojada se hace vibrar con una frecuencia constante, irá disminuyendo de l a medida que se seque.

(k) Una onda estacionaria (hija) tiene ciertas propiedades similares a las de las ondas que la generan (madres).

(l) Una cuerda puede vibrar en el 4º armónico con ambos extremos libres.

(m) Una cuerda puede vibrar en el 4º armónico con un extremo libre.

(n) El 3er armónico de cierta cuerda vibra con una frecuencia triple que el armónico fundamental de esa misma cuerda.

Problemas Ondas Sinusoidales (I)

1ª Parte

(1)  Cierto pulso responde a la función y = 0,250x - 6,80t  con 0 ≤ y ≤ 0,500m.

(a) Determine hacia adónde se mueve y con qué velocidad. (b) Dibuje este pulso en t = 0.

 (2) Un pulso responde a la función y = 0,400x + 2,80t, con -1,00m ≤ y ≤ 0.

(a) Determine hacia adónde se mueve y con qué velocidad. (b) Dibuje este pulso en t = 0,750s.

(3) Un pulso responde a la función y = -0,800x + 4,200t, con 1,00m ≤ y ≤ 2,00m.

(a) Determine hacia adónde se mueve y con qué velocidad. (b) Dibuje este pulso en t = 1,50s.

(4) El pulso del dibujo inferior se mueve hacia la derecha con una velocidad V = 5,20m/s.

Escriba la función de este pulso.

(5) Cierta onda sinusoidal y viajera hacia la derecha tiene las siguientes características: amplitud 4,50cm; longitud de onda, 3,14m, frecuencia 75,0Hz.Escribir la función de dicha onda.

(6) Una onda sinusoidal tiene l = 0,800m y frecuencia f = 25,0Hz. ¿Con qué velocidad se propaga? ¿Cuánto vale el número de onda k?.

(7) Cierta onda responde a la función y = 0,120. sen (1,25X + 200t). (a) Indique las propiedades de esta onda, de la forma más completa posible. (b) Dibuje esta onda en t = 0.

(8) El dibujo de cierta onda en t = 0s es como se aprecia debajo.

(a) Qué datos de la onda se pueden extraer de este dibujo y cuáles no? Justifique su respuesta.

(b) Suponga que la velocidad de la onda vale 8,00m/s hacia la izquierda. ¿Cómo sería el dibujo de esta onda en t = 1,00s?

(c) Usando ese valor de velocidad, escriba la función de esta onda.

(9) Cierta onda viaja hacia la izquierda con una velocidad V = 180m/s y tiene la forma que se aprecia en el dibujo inferior-

(a) Hallar su longitud de onda y frecuencia.

(b) Escriba la función de una onda sinusoidal que tenga la misma longitud de onda y frecuencia que esta, con A = 0,250m

(10)   Cierta onda responde a la ecuación y₁ = 0,150. sen (2,00x - 160t).

(a) Determine las características de esta onda, de la forma más completa posible.

(b) Escriba la función de otra onda y₂ que se mueva en sentido contrario, pero tenga el resto de las características

      iguales a y₁.

(c) Escriba la función de otra onda y₃ que tenga el doble de frecuencia y la misma velocidad que y₁.

(d) Escriba la función de otra onda y₄ que tenga el triple de frecuencia y el doble de velocidad que y₁.

(e) Escriba la función de otra onda y₅ que viaje en igual sentido que y₁, con sus mismas características, pero emitida 1,15m a la derecha de ella.

(f) Escriba la función de otra onda y₆ que viaje en igual sentido que y₁, con sus mismas caracter´sticas, pero emitida 2,30m a la izquierda y 0,0200s antes que ella.

(11) Una onda periódica responde a la ecuación  Y = 0,080 sen (4,0x – 25t)  (en unidades internacionales).

(a) Determinar su amplitud, longitud de onda y frecuencia. (b) Hallar la velocidad y sentido de propagación de dicha onda.

(12) Una onda periódica es de la forma  Y = 0,50 sen (10x) cos (55t)  (en unidades internacionales).

(a) ¿Se desplaza esta onda?. ¿Hacia adónde?. (b) Hallar la amplitud de las ondas madres. (c) Hallar la longitud de onda y período de las ondas madres.

Ondas Sinusoidales

Una onda sinusoidal o armónica es una perturbación cuya forma es la de la función Y = sen(X) que ya hemos estudiado.

Si a una onda sinusoidal, entonces, se le tomara una foto instantánea, tendría la forma que muestra esta foto.

Fotografía de una onda sinusoidal en un Osciloscopio. Fuente: es.123rf.com

Propiedades

Una onda sinusoidal tiene tres clases de propiedades:

(1) Geométricas

(2) Temporales.

(3) Otras

(1) Propiedades geométricas

(i)         Todo punto p cualquiera perteneciente a la onda se halla a cierta distancia transversal y respecto al eje de las X, o dirección de propagación. A esta distancia la seguiremos llamando elongación.

(ii)        Existen determinados puntos, como C y V que poseen elongación máxima. Estos puntos de denominan picos de la onda; aquellos picos que se tienen máxima elongación positiva, como C, se denominan crestas; los que tienen la máxima elongación negativa, como V, son los valles.

(iii)       A la máxima elongación, la seguimos denominando amplitud (A).

(iv)       Tras recorrer cierta distancia l (léase lambda), la forma de la onda vuelve a repetirse. Dicha distancia se llama longitud de onda.

            Tanto la elongación, la amplitud como la longitud de onda son longitudes, por lo que se medirán en metros (m) en el Sistema Internacional.

(v)        Existe una magnitud inversamente proporcional a l, relacionada con la cantidad de ondas que entran en una longitud igual a 2p metros. Dicha magnitud se denomina número de onda y se calcula de la siguiente forma:

                                                           k =  2 p / l    

            Ya que la longitud de onda se mide en metros y 2p son radianes, el número de onda quedará expresado en radianes por metro (rd/m)

(2) Propiedades temporales

            Como las ondas sinusoidales son periódicas,  también podemos definir en ellas el período (T) y la frecuencia (f) como la cantidad de veces que se repite la onda por segundo y la pulsación  w igual que en el armónico simple.

Matemáticamente decimos:      

f =   1_                                               

        T

y                                  w = 2 p / t                                           

(3) Otras propiedades

(i) Velocidad de propagación

            En un tiempo igual al período, una onda viajera avanza una distancia igual a la longitud de onda. Esto nos permite calcular su velocidad de propagación, poniéndola en función de l, T, f, w y k, de la siguiente forma:

                                      DS             l                             w

                        V =        ----        =  ---         =    lf   =   ----                                                      

                                      Dt              T                             k   

(ii) Fase de una onda

            Dos ondas no necesariamente parten del mismo lugar o son emitidas al mismo tiempo. Por eso decimos que una se halla adelantada o atrasada respecto a la otra. Ese adelanto o atraso se caracteriza mediante una constante llamada fase F, la cual -igual que en el movimiento armónico simple- se mide en radianes.

            Para las ondas sinusoidales la fase se calcula así:

           

                                                F = k Dx + w Dt

            siendo Dx la diferencia entre puntos de emisión y Dt la diferencia entre instantes de emisión.

Función de la onda sinusoidal

            Una onda sinusoidal queda descripta matemáticamente por función:

                                            y = A sen (k x ± wt)

            Aunque no todas las ondas son sinusoidales, esa función es sumamente importante, puesto que mediante una serie infinita de senos y cosenos, llamada Serie de Fourier, puede reconstruirse cualquier forma de onda: ondas cuadradas, dientes de sierra, ondas triangulares, etcétera, mediante una suma de ondas sinusoidales. Esta serie es particularmente importante cuando se consideran los sonidos musicales, como veremos algo más adelante.

El vector de Fresnel o Fasor

            El resultado matemático expresado por la función  y = A sen (k x ± wt) puede ser interpretado también geométricamente. Supongamos que dibujamos un vector de módulo A, que forme un ángulo

(kX - wt) con un eje de referencia horizontal o eje de fases.

Si ese vector se descompone en una componente horizontal y otra vertical y, este último valor se puede calcular trigonométricamente en el triángulo que queda definido como

                                               y = A sen (k x ± wt)

es decir, la componente vertical del vector A es idéntica a la función de la onda sinusoidal. Por eso decimos que la función de la onda viajera puede reinterpretarse como un vector giratorio -el vector gira al variar X y t- que se denomina fasor o vector Fresnel, que resulta muy útil en determinados cálculos.